Sayısal yarıgrupların tip dizileri

Sayısal yarıgruplar, Cebir ve Sayılar Teorisinde oldukça önemli bir yere sahiptir. İlk olarak 19.yüzyılda ele alınan sayısal yarıgruplar, zamanla ilgi odağı haline gelmiştir. Yapılan araştırmalar ile yeni tanımlar ortaya çıkmış ve günümüze kadar bu alanda pek çok çalışma yapılmıştır. Son yıllarda Topoloji, Cebirsel Geometri ve Diferansiyel Geometri alanlarında sayısal yarıgruplarla ilgili geniş uygulamalara yer verildiğini görmekteyiz. Özellikle de Grup ve Halka teorisindeki uygulamalar dikkat çekicidir. Sayısal yarıgruplar ile ilgili çalışmalar sadece bunlardan ibaret değildir. Bu tezde, sayısal yarıgruplar ve onların tip dizileri hakkında önceden yapılmış olan çalışmaları derleyerek, elde edilen sonuçları karşılaştırmak ve bunun neticesinde ortaya çıkan yeni bulguları ifade etmek amaçlanmıştır. Bu doğrultuda, tez çalışmamızda sayısal yarıgruplar ve onların tip dizileri hakkında genel bilgiler ve çeşitli kaynaklardan derlediğimiz temel tanımlar, önemli teorem ve önermelere yer verilmiştir. Sayısal yarıgruplar teorisinde önemli bir yeri olan Frobenius sayısı, Pseudo Frobenius sayısı, Simetriklik, Pseudo simetriklik ve Arf sayısal yarıgrup kavramları örneklerle incelenmiştir. Ayrıca tip dizilerinin simetrik ve pseudo simetrik sayısal yarıgruplarla olan ilişkisi ve belirteç sayısı 2, 3 ve 4 olan sayısal yarıgrupların tip dizileri verilmiştir. Tez çalışmamızda, bir sayısal yarıgrubun tip dizisini bulmak için kullanılabilecek farklı yöntemlerle beraber, verilen bir pozitif tamsayı dizisine karşılık gelecek sayısal yarıgruplar için gerekli ve yeterli koşullar verilmiştir. Aynı zamanda sayısal yarıgrupların tip dizilerini, bu yöntemlerden farklı olarak bulabileceğimiz bazı algoritmalardan bahsedilmiştir. Sayısal yarıgruplarda standart taban kavramı ifade edilmiş ve bir T sayısal yarıgrubunun satandart tabanı ile tip dizisi arasındaki ilişkilerden bahsedilmiştir. Son olarak bir sayısal yarıgrubun standart tabanını kullanarak bahsettiğimiz algoritmalar yardımıyla tip dizisini bulacağımız örneklere yer verilmiştir.

Numerical semigroups have a very important place in Algebra and Number Theory. Numerical semigroups, which were first discussed in the 19th century, have become the focus of attention over time. With the researches, new definitions have emerged and many studies have been carried out in this field until today. In recent years, we have seen that extensive applications of numerical semigroups have been included in the fields of Topology, Algebraic Geometry and Differential Geometry. Particularly the applications in Group and Ring theory are remarkable. Studies on numerical semigroups are not limited to these. In this thesis, it is aimed to compile the previous studies on numerical semigroups and their type sequences, to compare the results obtained and to express the new findings as a result of this. In this direction, general information about numerical semigroups and their type sequences, basic definitions, important theorems and propositions compiled from various sources are included in our thesis. The concepts of Frobenius number, Pseudo Frobenius number, Symmetry, Pseudo symmetrical and Arf numerical semigroup concepts, which have an important place in the theory of numerical semigroups, are examined with examples. In addition, the relation of type sequences with symmetric and pseudo-symmetric numerical semigroups and type sequences of numerical semigroups with determine numbers 2, 3 and 4 are given. In our thesis, besides the different methods that can be used to find the type sequence of a numerical semigroup, necessary and sufficient conditions for numerical semigroups corresponding to a given positive integer sequence are given. At the same time, some algorithms where we can find the type sequences of numerical semigroups, different from these methods, are mentioned.