Doğrusal olmayan evolüsyon denklemlerin çözümlerinin kararlılığı ve kararsızlığı

Bu tezin ilk bölümünde doğrusal olmayan evolüsyon denklemleri, onların matematiksel davranışları ve tez çalışmasının temelini oluşturan kararlılık konusu ele alınmıştır. İkinci bölümde sığ su dalgaları ve tek dalgalar ele alınmış ve bu dalga modellerinin tarihi gelişimine ve literatür çalışmasına yer verilmiştir. Üçüncü bölümde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, teorem ve eşitsizlikler verilmiştir. Ayrıca Kato teoremi, tek dalgalar için yörüngesel kararlılık ve sığ su dalga modelleri için bir blow-up oluşumu olan dalga kırılması ele alınmıştır. Dördüncü bölüm bu tezin orijinal kısmıdır ve üç alt bölümden oluşmaktadır. İlk kısımda, güçlü dispersif terim içeren integrallenebilir genelleştirilmiş bir sığ su dalga denkleminin çözümlerinin lokal iyi konumluluğu çalışılmıştır. Bunun yanı sıra aynı denklemin tek dalga çözümlerinin varlığı ve kararlılığı çalışılmıştır. İkinci kısımda, genelleştirilmiş Dullin-Gottwald- Holm denklemi için dalga kırılması ve tek dalga çözümlerinin kararlılığı çalışılmıştır. Üçüncü kısımda ise bir genelleştirilmiş KdV-BBM tipli denklemin çözümlerinin lokal varlığı, tek dalga çözümlerinin varlığı ve kararlılığı çalışılmıştır. Beşinci bölümde ise elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve bazı öneriler sunulmuştur. Anahtar Kelimeler: Lokal İyi Konumluluk, Kato Teoremi, Evolüsyon Denklem, Sığ Su Dalgaları, Tek Dalgalar, Yörüngesel Kararlılık, Dalga Kırılması, Patlama. In the first chapter of this thesis nonlinear evolution equations, their mathematical behavior and stability, which constitute the main subject of this thesis, are considered. In the second chapter, shallow water waves and solitary waves are investigated, and historical development of these models and related literature are given. In the third chapter, basic definitions, theorems and inequalities that will be used throughout the thesis are given. Moreover, Kato’s theorem, orbital stability and wave breaking, which is a blow-up phenomena for shallow water wave models, are given. The fourth chapter is the original part of this thesis and consists of three subsections. In the first part, local well-posedness of an integrable generalized shallow water wave equation with strong dispersive term is studied. Moreover, existence and stability of solitary wave solutions of this equation is studied. In the second part, wave breaking and stability of solitary wave solutions are studied for the generalized Dullin-Gottwald-Holm equation. In the third part, local existence, existence and stability of solitary waves are studied for solutions of a generalized KdV-BBM type equation. In the fifth chapter, the obtained results are summarized and suggestions are presented. Keywords: Local Well-Posedness, Kato’s Theorem, Evolution Equation, Shallow Water Waves, Solitary Waves, Orbital Stability, Wave Breaking, Blow-up.