Standart olmayan büyüme koşulunu içeren Steklov sınır değer probleminin çözümlerinin incelenmesi

Bu tezde, varyasyonel yaklaşım kullanılarak standart olmayan büyüme koşulunu içeren Steklov sınır değerli bir problemin sıfırdan farklı bir tane zayıf çözümünün varlığı değişken üslü Sobolev uzayında incelenmiştir. Birinci bölümde, öncelikle problemimizin çözümünün araştırıldığı uzay olan değişken üslü Lebesgue uzayı ve değişken üslü Sobolev uzaylarının tarihi gelişimi hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra da son yıllarda varyasyonel yaklaşım kullanılarak bu uzaylarda farklı sınır koşuluna sahip bazı çalışmalar incelenmiştir. Sonra da üzerinde çalışacağımız standart olmayan büyüme koşulunu içeren Steklov sınır değer problemi verilmiştir. İkinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teorem hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra, üzerinde çalıştığımız değişken üslü Lebesgue uzayları ile ilgili temel tanım, teoremler ve notasyonlar hakkında bilgi verilmiştir. Ayrıca, değişken üslü Sobolev uzayı tanımlandıktan sonra bu uzay ile ilgili gerekli olan tanım, teoremler ve notasyonlar hakkında bilgi verilmiştir. Üçüncü bölümde, varyasyonel yaklaşım hakkında bilgi verildikten sonra standart ve standart olmayan büyüme koşulunu içeren sınır değer problemlerinin çözümlerinin varlığını göstermek için varyasyonel yaklaşım da kullanılan bazı teoremler verilmiştir. Çalışmamızın bu kısmında teoremleri kullanmak için gerekli olan bazı tanımlara yer verilmiştir. En son kısmında da bu teoremler ile birlikte bazı özel tanımlar kullanılarak varyasyonel yaklaşım altında yapılan bazı çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. Dördüncü bölümde, tez çalışmasının orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu kısımda, standart olmayan büyüme koşulunu içeren Steklov sınır değerli problemin varyasyonel yaklaşım altında Mountain-Pass teoremi ile birlikte Ambrosetti-Rabinowitz koşulu bir arada kullanılarak problemin sıfırdan farklı bir tane zayıf çözümünün varlığı gösterilmiştir. Bu çözüm araştırılırken, probleme karşılık gelen enerji fonksiyoneli bir araç olarak kullanılmıştır. Zayıf çözüm değişken üslü uzayda araştırılmıştır.

In this thesis, the existence of a weak nontrivial solution solution of a Steklov boundary value problem with non-standard growth condition is investigated in variable exponent Sobolev space using a variational approach. In the first chapter, information is given about the historical development of the variable exponent Lebesgue space and the variable exponent Sobolev spaces, which are the spaces in which the solution of our problem is investigated. Then, in recent years, some studies with different boundary conditions in these spaces have been examined by using the variational approach. After that, the Steklov boundary value problem, which includes the non-standard growth condition that we will work on, is given. In the second chapter, information about the basic definition and theorem that will be used in other chapters is given. Then, information about the basic definitions, theorems and notations about the variable exponent Lebesgue spaces we have studied is given. In addition, after defining the variable exponent Sobolev space, information about the necessary definitions, theorems and notations about this space is given. In the third chapter, after giving information about the variational approach, some theorems used in the variational approach are given to show the existence of solutions to boundary value problems involving standard and non-standard growth conditions. In this part of our study, some definitions necessary to use theorems are given. In the last part, information about some studies carried out under the variational approach is given by using some special definitions together with these theorems. The fourth chapter constitutes the original part of the thesis. In this section, the existence of a non-zero weak solution of the Steklov boundary value problem involving non-standard growth condition is shown by using the Mountain-Pass theorem together with the Ambrosetti-Rabinowitz condition under the variational approach. While investigating this solution, the energy functional corresponding to the problem was used as a tool. The weak solution is investigated in variable exponent space.