Yüksek mertebeden bir kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümlerinin niteliksel analizi

Yüksek mertebeli kısmi türevli diferansiyel denklemler, matematiksel fizik ve mühendisliğin gelişiminde önemli bir rol oynamaktadır. Bu denklemler, malzeme bilimi, akışkanlar dinamiği ve dalga yayılımı gibi çeşitli alanlarda yaygındır. Bu denklemlerin incelenmesi, 18. yüzyılda Bernoulli kardeşler ve Euler'in titreşen teller ve kirişler üzerindeki çalışmalarıyla başlamış ve sonraki matematikçiler bu denklemlerin akışkanlar mekaniği ve dalga teorisindeki uygulamalarına önemli katkılar sağlamıştır. Modern araştırmalar, viskoelastik ve akıllı malzemeler gibi alanlarda yüksek mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin uygulamalarına odaklanmaktadır. Bu denklemlerin anlaşılması ve çözülmesi, hem teorik matematik açısından hem de mühendislik uygulamaları açısından kritik öneme sahiptir. Bu tezin temel amacı, uygun başlangıç ve sınır koşullarına sahip yüksek mertebeden bir kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümlerinin varlığını ve patlamasını incelemektir. Önceki çalışmalarda benzer problemleri ele alarak çözümlerin global varlığı, tekliği ve kararlılığı hakkında çalışmışlardır. Bu çalışma, yüksek mertebeden bir kısmi türevli diferansiyel denklemi inceleyerek ve patlama koşullarını genelleştirilmiş konkavlık yöntemi kullanarak ele alınmıştır. Bu tezin ilk bölümünde uygulamalı bilimler ve mühendislik alanlarında ortaya çıkan yüksek mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin tanımına ve çözümlerin global varlığı ve patlaması kavramlarına basit bir adi diferansiyel denklem örneği üzerinden kısaca değinilmiştir. İkinci bölümde yüksek mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerle ilgili günümüze kadar yapılan çalışmalar tarihi gelişimi ele alınmıştır. Üçüncü bölümde tez boyunca kullanılacak temel tanım, lemma, teorem, gerekli uzaylar ve eşitsizlikler hakkında bilgi verilmiştir. Dördüncü bölüm tezin esas kısmı olup verilen başlangıç sınır değeri probleminin zayıf çözümlerinin global varlığını ve çözümlerin patlamasına yol açan koşullar araştırılmıştır. Beşinci bölüm ise tezin sonuçları ve gelecekteki çalışmalar için önerileri içermektedir.

The higher-order partial differential equations play a significant role in the development of mathematical physics and engineering. These equations are prevalent in various fields such as materials science, fluid dynamics, and wave propagation. The study of these equations began in the 18th century with the works of the Bernoulli brothers and Euler on vibrating strings and beams. Subsequent mathematicians have made significant contributions to the applications of these equations in fluid mechanics and wave theory. Modern research focuses on the applications of high-order partial differential equations in areas such as viscoelastic and smart materials. Understanding and solving these equations is critically important both from a theoretical mathematics perspective and for engineering applications. The primary aim of this thesis is to examine the existence and blow-up of solutions for a high-order partial differential equation with appropriate initial and boundary conditions. Previous studies have investigated similar problems, focusing on the global existence, uniqueness, and stability of solutions. This work addresses a high-order partial differential equation and generalizes blow-up conditions using the method of generalized concavity. In the first chapter of the thesis, the definition of high-order partial differential equations emerging in applied sciences and engineering fields is briefly introduced, along with the concepts of global existence and blow-up of solutions, illustrated using a simple ordinary differential equation example. The second chapter reviews the historical development of research conducted on high-order partial differential equations up to the present day. The third chapter provides information on fundamental definitions, lemmas, theorems, necessary function spaces, and inequalities that will be used throughout the thesis. The fourth chapter forms the core of the thesis, where the global existence of weak solutions to the given initial-boundary value problem is investigated, along with the conditions leading to blow-up. The fifth chapter concludes the thesis with results and offers suggestions for future studies.